数学的奥秘博大精深
有个同事曾经问过，“0.9的循环是不是等于1”的讨论，这些讨论中有很多模棱两可的说法和容易造成误导的观点，本文以非专业的眼光谈谈非专业的看法。
首先要说明这里0.9的循环指什么。在有理数域中如果说循环小数是分数的另一种表现形式，则0.9的循环也就可以说成是1的另一种表现形式，那么0.9的循环等于1也就是自然成立的，因为他们指代的是同一事物，此时就没有继续进行讨论的必要了。所以这里0.9的循环指如下一种结构：
0.999...，其中9的个数为无限多个当然，这种说法是含糊不清的，什么叫“9的个数为无限多个”，数学上讨论无限时必须非常小心，这里让我们先暂且接受这种说法，之后会就此进行更严格的说明。
我们先来看一个关于“0.999... = 1”的常见证明：
第一步：记 a = 0.999...
第二步：10a = 9.999... = 9 + 0.999...
第三步：用a代替第二步中的0.999...，得到 10a = 9 + a
第四步：9a = 9， a = 1
第五步：因此 0.999... = 1
初看之下，这个证明非常合理。但总给人一种似是而非，似非而是的感觉，可以说这个证明是不严谨的，但问题究竟出在哪？首先，没有对第二步中“10a = 9.999...”这个操作为什么是被允许的进行说明，我们知道，在实数域中如果一个极限收敛，则极限的数乘和数乘的极限相等，那么，我们可以先接受“10a = 9.999...”这个操作。另外，第二步中的0.999...已经经过了某种变化，为什么它还可以被第一步中的a代替？这里似乎有某种循环论证的嫌疑。除此之外，这个证明是正确的吗？正确，但也只是形式上是正确的，也就是说这个证明给出了“0.999... = 1”这个形式记号的形式证明。但一个形式正确的证明未必是“有效的”和“可被接受的”，因为它并没有就0.9的循环为什么等于1这个“原命题”给予更多的说明，也没有从更本质的层面提供任何有效的信息。如同下面这个证明，证明”为什么 1 + 1 =2“，记 a = 1， a + a= 2a，两边同时除以一个非零数a，则得到 1 + 1 = 2。这也是一个形式正确的证明，但不是“有效的”，它并未回答所提的问题，如果不从皮亚诺公理出发，很难就为什么1 + 1 = 2提供更多信息。
现在我们来更严格地说明0.999...指什么，0.999...指这样一种过程：对任意的自然数N>0，当我们在小数点后写了N个9后，我们总能在这之后再写下一个9。这个过程的每一步均只对有限的情况进行描述，这样就避开了“无限多个9”这种含混不清的说法（这里可以参考亚里士多德对实无穷和潜在无穷的区分）。
除此之外，我们还需要对“=”，或什么是“相等”进行讨论。逻辑上，说两个事物相等，是指这两个事物是“同一”的，记“a = b”，是指a和b指代的是“同一”事物。同一的事物具有如下性质：对任意x 和y，若x 等于y，则P（x）当且仅当P（y），P是任意谓词。就这个意义而言，0.9的循环并不等于1。
